ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ

 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΔΟΜΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

3-01 -15

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΘΕΜΑ  A

Α1. Πότε μια συνάρτηση f είναι τταραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα

[α, β] του πεδίου ορισμού της;          Μονάδες 3

Α2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = √Χ είναι παρ/μη στο (0,+ οο)

                                        1

και ισχύει: f'(χ) =.----------            '    Μονάδες 8
                              2V χ

A3. Οι συναρτήσεις f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R και ισχύουν f(0) =2, f'(0) = 4, f’(1) = 4, g(0) = 1, g'(0) = 1 και g'(2) = - 1.

 α) Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο( < , = , >) τη σχέση:

(f og)'(0). . . (gof)'(O).                                                                        Μονάδες 2

β) Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τα παρακάτω:

ι) lim(f(x)-g(x))=2.

χ->0

ii)    (f/g)'(0)=4.

iii)   Η εξίσωση g'(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

 ίν) Υπάρχουν δύο σημεία της C_g στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους   κάθετες.
ν) Η εξίσωση f"(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα.                          Μονάδες 10
γ) Αν υπάρχει η f ^-1 και είναι παραγωγίσιμη, τότε η f^-1 (2) ισούται με:
Α. 0                   Β. 1/4                  Γ. 1/2                    Δ. 1                    Μονάδες 2

 

ΘΕΜΑ Β

    Για τις συναρτήσεις f,g ισχύουν :

       |f(x)-g(x)|≤√(x²+1) -1 , για κάθε x€R, g(0)=0 και g΄(0)=1

i)              Να αποδείξετε ότι η f συνεχείς στο x₀=0                                     (7 Μονάδες )

ii)             Nα βρείτε την παράγωγο της f στο x₀=0                                     (8 Μονάδες )

iii)            Να αποδείξετε ότι οι f, g δέχονται κοινή εφαπτομένη                 (10 Μονάδες )

 

ΘΕΜΑ Γ

      Μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει:

           f’(χ) + 5ημχ-2
  lim ——---- —----- = 4.

              χ- 0        x

   Γ1. Να αποδείξετε ότι f'(0) = 2.                                                                    Μονάδες 5

 

   Γ2. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

f’ στο χ₀ = 0.                                                                                       Μονάδες 6

   Γ3. Να αποδείξετε ότι lim (f '(e^x) - 2)· συνχ = 0.                                         Μονάδες 7

   Γ4. Αν η C_f διέρχεται από το σημείο Α(0,1) και ισχύει f’’(x) + f'(x) = χ + 1

   για κάθε χ e R , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.                         Μονάδες 7

 

 ΘΕΜΑ Δ

    Έστω μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με 0<α<β κα    ι f’’(χ)   0 για κάθε χ ε (α, β).

Δ1. Αν (α+β)² +(f(α)+f(β))²=(α-β)²+(f(α)-f(β))², δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον    

  χ₀ e (α, β) τέτοιο ώστε f(x₀) = 0.                                                                  Μονάδες 6

Δ2. Αν  αf(β)=βf(α) , δείξτε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της C_f που διέρχεται
από την αρχή των αξόνων.                                                                           Μονάδες 7

Δ3. Αν οι εικόνες των τα σημεια Α(α,f(α)) ,Β(β,f(β))  κινούνται στη διχοτόμο 1^ου και 3^ου τεταρτημορίου, και f΄΄(χ)  0 για κάθε χ ε (α, β), δείξτε ότι:

                                                                2α+β
α) υπάρχει γe (α, β) τέτοιο ώστε  f(γ)=  ----------                                 Μονάδες 6
                                                            3

                                                               1              2

β) υπάρχουν ξι ,ξ₂ e (α, β) τέτοια ώστε    ____    + ____     = 3 .        Μονάδες 6
                                                                    f’(ξ₁)      f’(ξ₂₎

  €R, g(0)=0 και g΄(0)=1