ΑΛΓΕΒΡΑ Β

 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΔΟΜΗ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ                                                               3-01 -15

 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ

 

ΘΕΜΑ  A

Α1. Πότε μια συνάρτηση f  με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική   (Μονάδες 5)

Α2. Να αποδείξετε ότι ημ²ω+συν²ω=1                                               (Μονάδες 10)

A3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σ , Λ

i)              H f(x)=-ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο[π/2,3π/2]
ii)             Η g(x)=f(συνχ) είναι άρτια
iii)            Υπάρχει x₀ ώστε να ισχύει συγχρόνως ημx₀=0,5 και συνx₀=0,3
iv)           2ημασυνα=ημ(α+β)+ημ(α-β)
v)            συν2α=0 αν και μόνο αν |συνα|=|ημα|                                    (Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Β

    Για τις συναρτήσεις f,g ισχύουν :

       |f(x)-g(x)|≤√(x²+1) -1 , για κάθε x€R, g(0)=0 και g΄(0)=1

i)              Να αποδείξετε ότι η f συνεχείς στο x₀=0                                     (7 Μονάδες )

ii)             Nα βρείτε την παράγωγο της f στο x₀=0                                     (8 Μονάδες )

iii)            Να αποδείξετε ότι οι f, g δέχονται κοινή εφαπτομένη                 (10 Μονάδες )

 

ΘEMA Β

Έστω η συνάρτηση f(x)= (ημx+συνx)², x∊ℝ.

α) Να αποδείξετε ότι f (x) =1+ηµ2x , για κάθε x∊ℝ.                                    (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f .   (Μονάδες 13)

 

ΘΕΜΑ Γ

 

      Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις
i)              1 – συν(2πx +π/3)=0                                                                     (Μονάδες 7)
ii)             3συν²2x+5συν2x=0                                                                        (Μονάδες 8)
iii)            συν(συνx)συν(ημx)=ημ(συνx)ημ(ημx)+1                                      (Μονάδες 10)

 

 ΘΕΜΑ Δ

 

 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= κ+λημ(ωx-π/3) . Αν η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=π , έχει ελάχιστη τιμή -1 και διέρχεται από το σημείο Α(π/4,7/2) τότε :

i)             Να αποδείξετε ότι f(x)=2+3ημ(2x-π/3)                        (8 Μονάδες)

ii)            Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία για x € (5π/12,π/3) και να συγκριθούν οι τιμές f(π/2) , f(7π/12)                     (8 Μονάδες)

iii)           Να βρείτε για ποιες τιμές του x ,η f παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της

                                                                              (9 Μονάδες)